Ułamkowy kuferek – cz. 2

Pracując z uczniami jedynie na modelach ułamków będę starała się przedstawić, w jaki sposób bez wprowadzania symbolicznego zapisu, poznajemy relacje i działania na ułamkach.

Zacznę od porównywania ułamków.

Porównywanie ułamków

Mamy już za sobą układanie kół z różnych wycinków koła. Uczniowie umieją je nazywać oraz potrafią dokładać i wyjmować z koła określone wycinki (np. 2/3, 1/5). Teraz warto, aby zastanowili się, który wycinek koła jest większy - 1/3 czy 1/6. Takich ćwiczeń należy zrobić kilka, aby uczniowie na podstawie eksperymentowania wycinkami kół mogli stwierdzić, który z nich jest większy, a który mniejszy. 

Jak to zrobić? Ja w tym celu rozdaję uczniom pizze, które są podzielone na różne części. Pizze różnią się od siebie składnikami. Zadaniem uczniów jest ułożyć najpierw pizze jednoskładnikowe, a następnie ułożyć pięć pizz, które będą miały różne składniki. Podczas tego ćwiczenia uczniowie doświadczają, że np. 1/4 jednej pizzy może zostać zastąpiona 4/8 innej. Ćwicząc w ten sposób nie tylko zapamiętują, że 1/4 jest większa od 1/8, ale przede wszystkim rozumieją tę zależność. Zauważają, że im więcej części składa się na pizzę, tym mniejsze muszą one być. Warto, aby ten wniosek uczniowie sformułowali samodzielnie, gdyż będzie on przydatny, kiedy po wprowadzeniu symbolu ułamka zaczniemy ułamki ze sobą porównywać.

Dla lepszej wizualizacji porównywania ułamków poprośmy uczniów, aby ułożyli wycinki kół od najmniejszego do największego oraz nazwali każdy z nich. Zapytajmy również, co oznacza 1/2 czy 1/3.

Skracanie i rozszerzanie

Podczas manipulacji modelami pizzy uczniowie zauważają również, że 1/4 pokrywa się z 2/8, a 1/2 z 2/4 itd. Tym samym dostrzegają, że różne ułamki mogą określać tę samą wielkość. Również i tych ćwiczeń warto wykonać kilka, aby uczniowie mieli możliwość samodzielnego odkrywania zależności, co będzie niezbędne podczas rozszerzania i skracania ułamków.

Zapytajmy uczniów, ile części szóstych muszę wziąć, aby były one równe 1/3? Czy trzy części czwarte, to tyle samo, co siedem części ósmych? Jeśli nie, to dlaczego?

Liczby mieszane i ułamek niewłaściwy

Operując modelami ułamków warto również wprowadzić pojęcie liczby mieszanej i ułamka niewłaściwego. W tym celu przygotować należy dla każdego ucznia kilka lub kilkanaście takich samych wycinków koła. Następnie prosimy, aby z określonej liczby wycinków uczniowie ułożyli koła (np. uczniowie otrzymują siedem połówek kół). Na pytanie ile kół ułożyli, uczniowie odpowiadają, że ułożyli trzy koła i została im jeszcze 1/2. Podkreślamy, że właśnie tak mówimy również w życiu codziennym. Nie mówimy 7/2 koła, ale 3 i pół koła. Zaznaczmy, że 7/2 jest formą niewłaściwą i dlatego taką postać ułamka nazywamy ułamkiem niewłaściwym. Skoro możemy powiedzieć 3 i 1/2 lub 3 i pół, to tak mówmy. A skoro w naszej wypowiedzi pojawia się liczba całkowita i ułamek, to taką liczbę nazywamy liczbą mieszaną. 

Zapytajmy też uczniów (już bez możliwości manipulowania kołami) – Ile kół można ułożyć z 9/5?, Ile ułamków 1/4 potrzeba na ułożenie 7 kół?, Ile ułamków 1/5 potrzeba, aby ułożyć z nich 3 i 2/5?, Ile kół można utworzyć z siedmiu części trzecich i jaka część jeszcze zostanie?

Dodawanie i odejmowanie ułamków

Posługując się modelami ułamków uczniowie mogą poznać także sposób ich dodawania oraz odejmowania. Warto ograniczyć się w tym przypadku wyłącznie do ułamków o jednakowym mianowniku. Pamiętajmy, że są to pierwsze lekcje, na których wprowadzamy pojęcie ułamka i jeszcze nie stosujemy żadnych zapisów. 

Poprośmy uczniów, aby wzięli 20 części piątych i je do siebie dodali. Pierwszą odpowiedzią uczniów będzie z pewnością 20/5. Zwróćmy więc uwagę, że wynik, który podali jest ułamkiem niewłaściwym i warto pomyśleć, jak przedstawić go inaczej. Ile kół ułożymy z 20 części piątych i czy jakaś część jeszcze pozostanie? Takich przykładów warto zrobić kilka, aby każdy z uczniów mógł samodzielnie doświadczyć dodawania wskazanych przez nauczyciela części.

Odejmowanie ułamków może sprawić uczniom odrobinę kłopotu. Jeżeli poprosimy ucznia, aby od 7 części trzecich odjął 2 części trzecie, to zrobi to z pewnością bez problemu, ale kiedy powiemy - od 2 i 1/3 odejmij 2 części trzecie, to polecenie zmieni się na trudne. Warto zatem powrócić do modeli kół i ponownie zacząć je stosować. Manipulowanie wycinkami kół pozwoli uczniom na zrozumienie, czym jest odejmowanie ułamków. Jeżeli uczeń zrozumie, że na całość koła składają się jego wycinki, to z pewnością będzie miał mniej problemów wykonując w przyszłości działanie typu: 1 i 1/3 odjąć 2/3.

Mnożenie i dzielenie ułamków przez liczbę naturalną

Posługując się modelami, uczniowie wiedzą już jak dodawać i odejmować ułamki. Teraz warto, aby doświadczyli mnożenia i dzielenia ich przez liczby naturalne. Pomnożyć przez liczbę naturalną będzie oznaczało zwielokrotnienie, a podzielić – pocięcie na części. 

Mnożenie ułamka przez liczbę naturalną będzie dla ucznia bardzo intuicyjne w przypadku, gdy poprosimy o wynik mnożenia 3 razy 1/2, czy 4 razy 1/2. Jeżeli zamienimy kolejność i zapytamy o 1/2 razy 3 lub 1/2 razy 4, to część uczniów zawaha się z odpowiedzią. Przypomnijmy zatem, że mnożenie jest przemienne. Postarajmy się także zadać uczniom nieco trudniejsze przykłady typu: 1 i 2/3 razy 2 lub 5 razy 2 i 1/3. Pytajmy o to, w jaki sposób uczniowie wykonali zadanie, o sposób ich myślenia, a także o to, czy posługiwali się wycinkami kół.

W przypadku dzielenia ułamka przez liczbę naturalną warto się ograniczyć jedynie do ułamków o liczniku 1 (przyp.: Pamiętajmy, że są to pierwsze lekcje, na których wprowadzamy pojęcie ułamka i jeszcze nie stosujemy żadnych zapisów.). Przypomnijmy na początku czym jest dzielenie i w jaki sposób je wykonujemy. Jeżeli uczniowie wiedzą, że dzielenie interpretujemy jako podział na równe części, to możemy przystąpić do podziału naszych wycinków koła. Na wstępie warto uczniów poprosić o podział 1/3 na 2 równe części. Wycinek 1/3 jest dość duży i łatwo go podzielić na pół poprzez zgięcie. Uczeń powinien zauważyć, że kiedy podzielimy go na 2 - wtedy otrzymamy 1/6. Jeżeli ten podział będzie dla ucznia trudny, to warto abyśmy odnieśli się do jego wcześniejszych doświadczeń (np. podczas układania pizzy).

Myślę, że przechodząc do dalszych działań na ułamkach warto będzie porzucić model koła. Uczniowie powinni już bardzo dobrze go rozumieć. W następnym odkrywaniu tajemnic kuferka będziemy mogli przejść do modelu prostokąta.

Pragnę zauważyć, że w dalszym ciągu nie używamy jeszcze symbolicznego zapisu ułamka.